Về mặt hình thức, một hàm  f {\displaystyle f}  là hàm giải tích thực trên một tập mở  D {\displaystyle D}  trên đường thực nếu với bất kỳ  x 0 ∈ D {\displaystyle x_{0}\in D}  đều có thể viết

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + a 3 ( x − x 0 ) 3 + ⋯ {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots }

trong đó các tham số  a 0 , a 1 , … {\displaystyle a_{0},a_{1},\dots } là các số thực và chuỗi là hội tụ tới  f ( x ) {\displaystyle f(x)} với  x {\displaystyle x}  ở lân cận  x 0 {\displaystyle x_{0}} .

Nói cách khác, một hàm số giải tích là một hàm có vi phân vô hạn sao cho chuỗi Taylor tại bất kỳ giá trị  x 0 {\displaystyle x_{0}} thuộc tập xác định

T ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n {\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}

hội tụ đến  f ( x ) {\displaystyle f(x)} với  x {\displaystyle x} nằm trong vùng lân cận  x 0 {\displaystyle x_{0}} . Tập hợp của tất cả các hàm số thực giải tích trong một tập hợp  D {\displaystyle D}  cho trước được viết là C ω ( D ) {\displaystyle C^{\,\omega }(D)} .